開平方法
術曰:有積數【即實數】,有商數商,有方法,有廉法【倍初商】,隅法【次商】。置積數從末位下作點,向左隔一位作一點,有一點知有一商也。視平方籌内自乘之數與實相等或略少者,取以除實,但自左一點為始【此謂横列者。若上下列,則從上始】。點前無位,則自乘止於零數,點前有位,則自乘應有十數,而此乘數在籌内第幾格,即用其格數為初商也。有二點者,以初商倍之,乃以倍數查籌,列于平方籌之左,再視諸籌横行内數與存實相等者,用以除實,而此實在幾格,即用為次商法。不盡者,以法命之,或實右加○,再開之。
開方有實無法,故用方廉隅以代之。初商積與次商隅積,皆自乘數也。次商廉積之數,處初商與隅積之間也。
第一點,求初商之根為方法,乙為方積也。不盡,求二點之商倍初商根為廉法,甲、丙兩長邊也。隅法:丁方一角也。此甲乙丙丁為平方二商之形,如:三商則加戊已廉,及庚隅也。
式:如積三萬二千○四十一平方開之,問邊得若干?曰:一百七十九、别列積為實,從末位一下作點,向左隔一位○下作點,三下作點,共得三點,知商有三位也。點左無實,【横言左,竪言上】,三作零數,視方籌内自乘無三,近少為一、平行取一為方法,為初商,乃于實三内減去一格,自乘之一存二,以共次點實,曰二二○,為餘實。次倍初商根,得二為廉法【倍一為二】,取二號籌,列方籌之左于兩籌横行内求二二○,無則用近少者,一八九在第七格,即七為次,商為隅法。乃以一八九減,餘實二二○,餘三一,以共三點之實。
曰:三一、四一為次商餘實。再倍初次兩商之一七,得三四【初商一作一十,次商七,共為十七,倍為三十四】,為次廉法。乃去次商所列之第二籌,又取三號、四號兩籌,自左向右,俱列方籌之左于横行内,求三一四一在第九格,即九為三商,為次隅法。減實無餘,即三次所商為平方邊一百七十九也。
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