除法【即商法】

術曰：有實，有法，有商。别列實數，以法數依號查籌，從左向右，齊列于諸籌九格内。查横行數之等于實數，或略少于實數者，在第幾格即是初商數。如在第一格，即一為初商也。次以查得之數減其實數，已盡則止一商，如未盡則有再商。即再查横行内數之等于存實，或略少于存實者，在第幾格即是再商數。又以查得之數減其存實，如前又未盡，則更有三商。倘再商已除，實雖未盡，而次位無實，則商有○位，即作○以當次商。再以存實于格内查之，若至餘實數少于法數，是為不盡法，當命分之。

凡除以所分之物為實。今欲作幾分，分之為法。法與實須審定，不可倒置。如有糧若干，給若干人，則當以糧為實，以人之數為法除之。蓋糧數是所分之物，人數是用以分之之法也。

凡書商數，皆與減數第一行相對，若所減第一位是○，則?作○，于原實首位上而對之，此定位之根也。

定位法：除畢，以商得數與原實對位求之，皆如法首位之上一位，命為單數【歸於法前，得零古法，實如法而一是也】。然此有二法，有法少實多者，從原實内㝷法首位認定，逆轉上一位，命為單數【如米則為單石，錢則為單文】既得單數，則上而十百千萬，下而分秒忽微，皆定矣，此為正法。有法反多而實反少者，乃變法也，法從原實首位逆遡而上，至法首位止，又上一位，命為單數【此是虚位，借之以求實數】，既得單數，乃順下求之，命所得為分秒之數。

一位商式：三百二十五兩，六十五人分之，問各若干？曰五兩。

别列三百二十五兩為實，以六十五人為法。查六五兩籌，左右齊列，何格數與實相等？一格至四格皆少，五格内自左向右曰三，二五適等，即五為商數也。

如太陽每歲行天三百六十度，分為七十二候。每候幾何度？曰每候五度。此欲分七十二分，當以七二為法，用兩算。

先列三百六十度為實，次檢七二兩籌為法，視何格内有三六○與相同，今在五格，則商作五。又查所減第一位是三，將商數五對三字書之，此法少于實也。宜于原實内㝷十度位，即法首位也。法首再上一位為單度，定所得為五度。

假令實是三千六百，則所得為五十度。此亦法少于實，法亦于原實内㝷法首十位，再上一位為單位，單位空，?作圈，再上一位是十度，定所得為五十度。用籌同而得數迥異，定位之法所以當明。

二位商式：三千三百二十五兩，九十五人分之，問各若干？曰三十五兩。

列三千三百二十五兩為實，九十五人為法。列籌二，籌横數止三位，須截實上三位曰三三二，作三百三十二，於格内查之，至三格自左向右曰二八五，【中位一七併八】作二百八十五，略少於實數，四格則多矣。用三為初商，相減餘四十七，再以餘實四七及截外之五作四百七十五，查至五格四七五，【二五并七】適等。用五為次商。

如皇極經世，一元共十二萬九千六百年，分為十二會，共幾何？曰：每會一萬○八百年。

如圖列實，檢一二兩籌，第一行是○一二，商作一數，除實一二，尚餘九六。至第八行得○九六，商作八，恰盡。又因所減數是○一二，故于實首位?作圈，而以商得一，對此商位書之，此定位之根。次所減亦是○九六，故以商得八，進位書之，以暗對其○因法以十為首，則十字之上方是單位，數至一，恰當萬也。

三商式：如有水輪，每日共轉二千二百四十四周，一日十二時，每時幾何轉？曰每時一百八十七，此亦欲分為十二也。故用一二兩籌檢籌，第一行是○一二商，一減，實一千二百，餘一千四十四。次檢籌，第八行是○九六商，八減，實九百六十，餘八十四。末儉籌，第七行是○八四商。七法以十為首，則十上一位為單數。初商數對所減籌第一位，因初商是○一二，故遂以一字對書之。

商當有○式：三十二萬三千八百七十六兩，五百三十八人分之，問各若干？曰六百零二兩。

列實查籌。三籌横數止四位，截實左四位，曰三二二八，作三千二百二十八。查至六格，自左向右，曰三二二八，作三千二百二十八，畧少于實數，七格則多矣。用六為初商，相減餘一十，以餘實一○，及截七六作一千零七十六，此乃次位無實也。次商當作○竟不除實，餘實仍是一千零七十六。查至二格，一零七六適等。用二為三商，若次位、三位俱無實者，即一連兩商，皆當作○。

法有○位式：假如布二萬一千七百六十八丈，給與九百○七人，各幾何？曰：每人二十四丈，此欲分為九百○七分也，故以九籌○籌七籌為法。檢籌第二行一八一四，商作二，蓋一格本少，自二格以下皆多，唯第二格略少于實數，故商二。減實一萬八千一百四十，尚餘三千六百二十八丈，減至第四三六二八恰盡，故又商四。因法首是百，故百上為單位，知為二十四丈以上，皆法少於實，故法首在原實中，乃本位也。

法多實少式【即除分秒法】：假如銀五百一十二兩，給六百四十人，各若干？曰：每人八錢。解曰：凡不能成一單數者，皆分秒也。故斤下有兩，兩下有錢，錢下有分，分下有釐，釐下有毫零。以兩為主，以兩為主，則兩為單位，而錢為兩十之一。八錢即十分兩之八，此欲分為六百四十分也。故以六四兩籌為法，檢籌第八行恰盡，故商八。又所減首位不空，故商數對之。定位法曰：此法多于實也。㝷法首位百逆上，一位是兩，二位空，則知是錢。

又式：如饑民四十八萬口，賑米三千六百石，各得若干？曰每口七合五勺，此人分米也。故以四十八萬為法，列四八兩籌，檢籌第七行是三三六，初商七，餘二百四十石。次檢籌第五行是二四○次商五，恰盡。定位法于原實内，㝷法首位，而原實内無十萬，只有千，虛進一位㝷萬，又進一位十萬，十萬者，法首位也。再上一位得零，是單石，石位○，順下斗升俱○，知所得為七合五勺。

以上兩例皆法多于實者，其法首位或在原實中，必原實首位也。或不在原實中，則于其原實上幾位也。要之皆不能滿法，其所得必為分秒。

法多實者，實乃零數，法乃整數。假如有銀四百五十六兩，而千百十人分是也。

實多法者，法乃零數，實乃整數。假如有銀四百五十六兩，而有二三十人分也。

法首位者，法首位之數也。若法首是十，即于實之十位上為法首位。若法首是百，即是實之百位上為法首位。法首位上一位是單者，如實之十數是法首位，而十上之百數位即為單位也。實之百數是法首位，而百上之千即為單位。

實不盡式：二千三百三十六兩，九十五人分之，問各若干？曰三十五兩，餘實一十一兩。

列實查籌。二籌横數止三位，截實左三位曰三三三，查至三格自左向右曰二八五，略少于實數，用三為初商，相減餘四八，以餘實四八及截外六作四八六，查至五格四七五，略少于餘實，用五為次商，相減尚餘一十一，為不盡數也。