(清)胡煦撰《周易函書•約存•卷十三》
周易函書約存卷十三:禮部侍郎胡煦撰,原古【冒道分】
異乘同除法【泰西謂之三率】
以先有之數,知今有之數,兩兩相得,是生此例。莫善於異乘同除,乃古九章之樞要也。先有者二,今有者一,是已知者三,而未知者一。用三求一,故泰西謂之三率。異者何也?言異名也。同者何也?言同名也。假如以粟易布,則粟與粟同名,布與粟為異名矣。
何以為異乘同除也?主乎今有之物以為言也。假如先有粟若干,易布若干,今復有粟若干,將以易布,則當以先所易之數例之。是先易之布與今有之粟異名也,則用以乘,是謂異乘。若先有之粟與今有之粟同名也,則用以除,是謂同除。皆用以乘除今粟。故曰:主乎今有以為言也。【置今有粟,以異名之布乘之為實,再以同名之粟為法除之,是皆以今粟為主,而以先冇之二件乘除之也】。
原價與今物異名以乘,原物與今物同名以除。泰西以原物為一率,原價為二率,今有物為三率,以二率乘三率,而以一率除之,即得四率。
問:何以不先除後乘?曰:以原總物除原物總價,則得每物之價;以乘今有總物,亦可得今有之總價。然除有不盡,則不可以乘,故變為先乘後除,其理一也。
三率法,以先有之二件為一率、二率,今有之二件為三率、四率,則前兩率之比例與後兩率之比例等,故其數可以互求。
【今有之二率,先只冇其一,合前有之二率,共為三率以求之而得。今冇之餘一率,是以三求一,故曰三率法,實四率也】。
假如一率是三,二率是四,三率是九,則四率必為十二,何也?三與四之比例若九與十二也。故以四【二率】、九【三率】相乘,【卅六】為實,以三【一率】為法,除之必得十二【四率】。
若互用之,以四率為一率,三為二率,則十二為三率,九為四率,蓋十二與九之比例若四與三也。
【解曰:以三比四,以九比十二,并三分加一之比例。以十二比九,以四比三,并四分減一之比例。凡言比例等者,皆如是】。
若倒用之,十二為一率,九為二率,則四為三率,三為四率。
若以九為一率,十二為二率,則三為四率,四為三率。【四九相乘三十六,而十二與三相乘亦三十六,故以三除三十六得十二,以十二除三十六亦復得三,此前兩圖互求之理。若更一四為二三,其實同為三十六,故以四除之得九,以九除之亦復得四】。
若錯綜之,三為一率,九為二率,四為三率,則十二為四率。
若以九為一率,三為二率,十二為三率,則四為四率。若以十二為一率,四為二率,九為三率,則三為四率。若以四為一率,十二為二率,三為三率,則九為四率。此又以前圖之二與三更之,則前兩率之第二變為後兩率之第一,而比例亦等。【在前圖為三與四若九與十二者,此圖則三與九亦若四與十二也】。
若以一率除二率得數,以乘三率,亦得四率。【如以一率三除二率九得三,以乘三率四,亦必得四率十二。以一率四除二率十二得三,以乘三率三,亦得四率九。但先除、後乘多有不盡之分,故異乘、同除為算家大法,乃中、西兩術所同也】。